Процессы перехода горных пород перед землетрясениями из ненарушенного состояния в состояние динамического разрушения, в условиях ограниченности объема очаговой зоны и сжатия на больших глубинах, происходят замедленно. Такое замедление может быть использовано в прогностических целях. В настоящей статье приведены результаты математического и компьютерного моделирования динамических и квазистатических процессов в очаговых зонах землетрясений. Исследовано движение упругой среды при внезапном возникновении разрыва вдоль конечной полосы в условиях продольного сдвига с учетом контактного вязкого трения. Использование точного решения этой задачи, построенного методом суперпозиции, удобно для первых вступлений отраженных волн и затруднено при многократных отражениях. В связи с этим в данной работе применен другой подход, заключающийся в сведении краевой задачи к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода в изображениях, решение которого при определенных условиях позволяет получить параметры движения среды в произвольный момент времени. Этими условиями является достаточно большая величина эффективной вязкости на разрыве, когда реализуется квазистатический нестационарный процесс. Применив метод решения интегральных уравнений в изображениях, который использует формулу Гильберта-Шмидта для резольвентного ядра и разложение нормируемого симметричного ядра в билинейный ряд по собственным функциям, получено решение квазистатического интегрального уравнения в изображениях. Далее, обращением решения в изображениях, получено решение в оригинале. Из условий близости приближенного (квазистатического) решения и общего (динамического) решения соответствующего интегрального уравнения, получена оценка нижней границы эффективной вязкости на разрыве для перехода от решения динамической нестационарной задачи к решению квазистатической нестационарной задачи. Исследовано соответствие полученного условия квазистатичности процессов имеющимся экспериментальным лабораторным и геофизическим данным. С помощью аналитических методов совместно с численным счетом получены графики квазистатических нестационарных смещений берегов разрыва и коэффициента интенсивности напряжений на его концах, зависящие от фоновых напряжений, эффективной вязкости на разрыве, координат и времени. Получено общее решение квазистатической задачи для смещений и скоростей смещений берегов разрыва в виде статической поверхности в нормированной системе координат. Получено общее решение квазистатической задачи для коэффициента интенсивности касательных напряжений на концах разрыва в нормированных координатах.
The processes of rock transition from undisturbed to dynamic fracture before earthquakes, under conditions of limited source zone volume and compression at great depths, are slow. Such a slowdown can be used for predictive purposes. According to natural waveguides, which are fault zones, these processes in the depths of the lithosphere cause variations in geophysical fields on the Earth's surface, in the atmosphere and ionosphere. In turn, these variations can already be seen by modern ground and satellite observations.This article presents the results of mathematical and computer modeling of dynamic and quasi-static processes in earthquake focal zones. The motion of an elastic medium in the event of a sudden rupture along a finite strip under longitudinal shear conditions, taking into account contact viscous friction, is investigated. The use of an exact solution to this problem, constructed by the superposition method, is convenient for the first arrivals of reflected waves and is difficult with multiple reflections. In this regard, a different approach has been applied in this paper, which consists in reducing the boundary value problem to the Fredholm integral equation of the 2nd kind in images, the solution of which, under certain conditions, allows us to obtain the parameters of the motion of the medium at an arbitrary time. These conditions are sufficiently large values of the effective viscosity at break when a quasi-static non-stationary process is realized. Applying the method of solving integral equations in images, which uses the Hilbert-Schmidt formula for a resolvent kernel and decomposition of a normalized symmetric kernel into a bilinear series by eigenfunctions, a solution of a quasi-static integral equation in images is obtained. Further, by inverting the solution in the images, the original solution is obtained.From the conditions of proximity of the approximate (quasi-static) solution and the general (dynamic) solution of the corresponding integral equation, an estimate of the lower bound of the effective viscosity at break is obtained for the transition from solving a dynamic non-stationary problem to solving a quasi-static non-stationary problem. The correspondence of the obtained condition of quasi-static processes to the available experimental laboratory and geophysical data is investigated.With the help of analytical methods, together with numerical calculation, graphs of quasi-static nonstationary displacements of the rupture shores and the stress intensity coefficient at its ends, depending on background stresses, effective viscosity at the rupture, coordinates and time are obtained. A general solution of the quasi-static problem for displacements and displacement velocities of the rupture shores in the form of a static surface in a normalized coordinate system is obtained. A general solution of the quasi-static problem for the intensity coefficient of tangential stresses at the ends of the rupture in normalized coordinates is obtained.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.